الموشور القائم والأسطوانة القائمة: الدرس الكامل يساعدك على فهم مجسمين يتكرران كثيرًا في تمارين الهندسة والقياس. والصعوبة الأساسية ليست في حفظ القوانين، بل في التمييز بين مساحة القاعدة ومحيطها، وبين المساحة الجانبية والمساحة الكلية والحجم. لذلك سنبدأ بالتعرّف إلى المجسمين، ثم نفهم أصل كل قانون قبل تطبيقه.
كيف نتعرّف إلى الموشور القائم؟
الموشور القائم مجسم له قاعدتان مضلعتان متطابقتان ومتوازيتان، وأوجه جانبية مستطيلة. قد تكون القاعدة مثلثًا أو مربعًا أو مستطيلًا أو مضلعًا آخر.
يمكنك التعرّف إلى الموشور القائم من خلال الخصائص الآتية:
- له قاعدتان متطابقتان ومتوازيتان.
- قاعدتاه مضلعان، وليستا دائرتين.
- أوجهه الجانبية مستطيلات.
- أحرفه الجانبية متوازية ومتساوية ومتعامدة مع القاعدتين.
- ارتفاعه هو المسافة العمودية بين القاعدتين، ويساوي طول الحرف الجانبي.
إذا كانت قاعدة الموشور مثلثًا، فإنه يسمى موشورًا ثلاثيًّا قائمًا. وإذا كانت قاعدته مستطيلًا، نحصل على متوازي المستطيلات، وهو حالة خاصة من الموشور القائم.
⚠️ انتبه: في الموشور ذي القاعدة المثلثة يوجد ارتفاعان قد يختلطان عليك: ارتفاع المثلث المستعمل لحساب مساحة القاعدة، وارتفاع الموشور الذي يمثل المسافة بين القاعدتين.
ما الأسطوانة القائمة وما خصائصها؟
الأسطوانة القائمة مجسم له قاعدتان دائريتان متطابقتان ومتوازيتان، وسطح جانبي منحنٍ. يصل محور الأسطوانة بين مركزي القاعدتين ويكون عموديًّا عليهما.
من أهم خصائص الأسطوانة القائمة:
- لها قاعدتان على شكل قرصين دائريين متطابقين.
- قاعدتاها متوازيتان.
- لها سطح جانبي منحنٍ.
- ليس لها رؤوس ولا أحرف مستقيمة.
- ارتفاعها هو المسافة العمودية بين القاعدتين.
- في الأسطوانة القائمة يساوي طول المحور ارتفاع الأسطوانة.
ومن الأشياء القريبة من شكل الأسطوانة: علبة المصبرات، وبعض الخزانات والأنابيب ولفائف الورق.
الفرق بين الموشور القائم والأسطوانة القائمة
| وجه المقارنة | الموشور القائم | الأسطوانة القائمة |
|---|---|---|
| شكل القاعدتين | مضلعان متطابقان | دائرتان متطابقتان |
| السطح الجانبي | مكوّن من مستطيلات | سطح منحنٍ |
| الرؤوس | له رؤوس | ليس لها رؤوس |
| الأحرف المستقيمة | له أحرف | ليس لها أحرف مستقيمة |
| حساب الحجم | مساحة القاعدة × الارتفاع | مساحة القاعدة الدائرية × الارتفاع |
إذن الأسطوانة تشبه الموشور من حيث وجود قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، لكن الأسطوانة ليست موشورًا؛ لأن قاعدتي الموشور مضلعان وأوجهه مسطحة، بينما قاعدة الأسطوانة دائرية ولها سطح جانبي منحنٍ.
كيف تساعدنا شبكة المجسم على فهم المساحة الجانبية؟
شبكة الموشور القائم
عندما نفتح الأوجه الجانبية للموشور ونبسطها، نحصل على مستطيلات متجاورة. ارتفاع هذه المستطيلات هو ارتفاع الموشور، أما مجموع عروضها فيساوي محيط القاعدة.
لهذا السبب تكون:
المساحة الجانبية للموشور القائم = محيط القاعدة × ارتفاع الموشور
أما المساحة الكلية فتضم المساحة الجانبية والقاعدتين معًا:
المساحة الكلية للموشور القائم = المساحة الجانبية + ٢ × مساحة القاعدة
شبكة الأسطوانة القائمة
إذا قطعنا السطح الجانبي للأسطوانة وبسطناه، نحصل على مستطيل:
- طوله يساوي محيط الدائرة.
- عرضه يساوي ارتفاع الأسطوانة.
وبما أن محيط الدائرة يساوي ٢ × π × نصف القطر، فإن:
المساحة الجانبية للأسطوانة القائمة = ٢ × π × نصف القطر × الارتفاع
ولحساب المساحة الكلية نضيف مساحة القاعدتين الدائريتين:
المساحة الكلية للأسطوانة القائمة = المساحة الجانبية + ٢ × π × مربع نصف القطر
ويمكن كتابتها في صيغة مختصرة:
المساحة الكلية للأسطوانة القائمة = ٢ × π × نصف القطر × مجموع نصف القطر والارتفاع
💡 تذكّر: الرمز π يمثل عددًا ثابتًا مرتبطًا بالدائرة. نستعمل عادة القيمة التقريبية ٣٫١٤، أو القيمة التي يحددها نص التمرين.
لماذا يساوي الحجم مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع؟
الحجم يقيس الحيز الذي يشغله المجسم. ويمكن تصور الموشور أو الأسطوانة على أنهما مكوّنان من طبقات متطابقة موضوعة بعضها فوق بعض.
مساحة كل طبقة هي مساحة القاعدة، وعدد الطبقات يرتبط بارتفاع المجسم. لذلك نحسب الحجم بالقانون نفسه في الحالتين:
الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع
حجم الموشور القائم
حجم الموشور القائم = مساحة القاعدة × ارتفاع الموشور
شكل القاعدة هو الذي يحدد طريقة حساب مساحتها. فمثلًا:
- مساحة القاعدة المستطيلة = الطول × العرض.
- مساحة القاعدة المربعة = طول الضلع × طول الضلع.
- مساحة القاعدة المثلثة = القاعدة × ارتفاع المثلث ÷ ٢.
حجم الأسطوانة القائمة
مساحة القاعدة الدائرية تساوي:
مساحة القرص = π × مربع نصف القطر
إذن:
حجم الأسطوانة القائمة = π × مربع نصف القطر × الارتفاع
📌 الوحدات: نقيس المساحات بوحدات مربعة مثل سم² وم²، بينما نقيس الحجوم بوحدات مكعبة مثل سم³ وم³. كتابة سم² بعد نتيجة الحجم خطأ، كما أن كتابة سم³ بعد مساحة خطأ.
قوانين الموشور والأسطوانة في جدول واحد
| المقدار | الموشور القائم | الأسطوانة القائمة |
|---|---|---|
| مساحة القاعدة | تتغير حسب شكل المضلع | π × مربع نصف القطر |
| المساحة الجانبية | محيط القاعدة × الارتفاع | ٢ × π × نصف القطر × الارتفاع |
| المساحة الكلية | المساحة الجانبية + ٢ × مساحة القاعدة | ٢ × π × نصف القطر × الارتفاع + ٢ × π × مربع نصف القطر |
| الحجم | مساحة القاعدة × الارتفاع | π × مربع نصف القطر × الارتفاع |
طريقة اختيار القانون الصحيح في المسألة
إذا لم تعرف من أين تبدأ، اقرأ المطلوب وابحث عن الكلمات الدالة:
- إذا طُلب تغليف الجوانب فقط، فاحسب المساحة الجانبية.
- إذا طُلب تغليف المجسم كاملًا، بما في ذلك القاعدتان، فاحسب المساحة الكلية.
- إذا طُلبت السعة أو الحيز الذي يشغله المجسم، فاحسب الحجم.
- إذا أُعطي قطر دائرة، فاقسمه على ٢ للحصول على نصف القطر قبل تطبيق القانون.
- إذا كانت الوحدات مختلفة، فوحّدها قبل الحساب.
يمكنك اتباع هذه الخطوات في أغلب التمارين:
- حدّد نوع المجسم وشكل قاعدته.
- اكتب المعطيات مع وحداتها.
- حدّد المطلوب: مساحة جانبية، أم مساحة كلية، أم حجم.
- احسب مساحة القاعدة أو محيطها عند الحاجة.
- اكتب القانون المناسب قبل التعويض.
- أنجز العمليات، ثم اكتب الوحدة الصحيحة.
- تحقق من معقولية النتيجة.
مثال محلول حول موشور قائم ذي قاعدة مثلثة
موشور قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية، طولا ضلعي الزاوية القائمة فيه ٣ سم و٤ سم، وطول الضلع الثالث ٥ سم. ارتفاع الموشور ١٠ سم. نحسب مساحته الجانبية ومساحته الكلية وحجمه.
الخطوة الأولى: حساب مساحة القاعدة
مساحة المثلث = القاعدة × ارتفاع المثلث ÷ ٢
مساحة القاعدة = ٣ × ٤ ÷ ٢ = ٦ سم².
الخطوة الثانية: حساب محيط القاعدة
محيط القاعدة = ٣ + ٤ + ٥ = ١٢ سم.
الخطوة الثالثة: حساب المساحة الجانبية
المساحة الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الموشور.
المساحة الجانبية = ١٢ × ١٠ = ١٢٠ سم².
الخطوة الرابعة: حساب المساحة الكلية
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + ٢ × مساحة القاعدة.
المساحة الكلية = ١٢٠ + ٢ × ٦ = ١٣٢ سم².
الخطوة الخامسة: حساب الحجم
الحجم = مساحة القاعدة × ارتفاع الموشور.
الحجم = ٦ × ١٠ = ٦٠ سم³.
لاحظ أن العدد ٤ استُعمل مع العدد ٣ لحساب مساحة المثلث، بينما العدد ١٠ هو ارتفاع الموشور. الخلط بينهما يغيّر جميع النتائج.
مثال محلول حول أسطوانة قائمة
أسطوانة قائمة نصف قطر قاعدتها ٣ سم وارتفاعها ٨ سم. نأخذ π ≈ ٣٫١٤، ونحسب المساحة الجانبية والمساحة الكلية والحجم.
حساب المساحة الجانبية
المساحة الجانبية = ٢ × π × نصف القطر × الارتفاع.
المساحة الجانبية = ٢ × ٣٫١٤ × ٣ × ٨ = ١٥٠٫٧٢ سم².
حساب المساحة الكلية
مساحة القاعدتين = ٢ × π × مربع نصف القطر.
مساحة القاعدتين = ٢ × ٣٫١٤ × ٣ × ٣ = ٥٦٫٥٢ سم².
المساحة الكلية = ١٥٠٫٧٢ + ٥٦٫٥٢ = ٢٠٧٫٢٤ سم².
حساب الحجم
الحجم = π × مربع نصف القطر × الارتفاع.
الحجم = ٣٫١٤ × ٣ × ٣ × ٨ = ٢٢٦٫٠٨ سم³.
يمكن أيضًا إبقاء النتائج بدلالة π إذا لم يطلب التمرين قيمة تقريبية. في هذه الحالة تكون المساحة الجانبية ٤٨π سم²، والمساحة الكلية ٦٦π سم²، والحجم ٧٢π سم³.
كيف نحل مسألة أُعطي فيها القطر بدل نصف القطر؟
أسطوانة قطر قاعدتها ١٠ سم وارتفاعها ٦ سم. المطلوب حساب حجمها.
لا يجوز تعويض العدد ١٠ مكان نصف القطر، لأن القانون يستعمل نصف القطر.
نصف القطر = القطر ÷ ٢ = ١٠ ÷ ٢ = ٥ سم.
الحجم = π × مربع نصف القطر × الارتفاع.
الحجم = π × ٥ × ٥ × ٦ = ١٥٠π سم³.
باستعمال π ≈ ٣٫١٤ نحصل على:
الحجم ≈ ١٥٠ × ٣٫١٤ = ٤٧١ سم³.
⚠️ خطأ شائع: إذا استعملت القطر بدل نصف القطر في مربع نصف القطر، فلن تكون النتيجة ضعف الجواب الصحيح فقط، بل ستصبح أربعة أمثاله؛ لأن العدد مرفوع إلى المربع.
كيف نجد ارتفاع المجسم عندما يكون الحجم معلومًا؟
قد يأتي التمرين بطريقة عكسية. فإذا علمنا أن:
الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع
فإن:
الارتفاع = الحجم ÷ مساحة القاعدة
مثال: حجم موشور قائم ٢٤٠ سم³، ومساحة قاعدته ٣٠ سم². ارتفاعه هو:
الارتفاع = ٢٤٠ ÷ ٣٠ = ٨ سم.
وبالنسبة إلى الأسطوانة نستعمل:
ارتفاع الأسطوانة = الحجم ÷ مساحة القاعدة الدائرية
فإذا كان حجم أسطوانة ٣٩٢π سم³ ونصف قطرها ٧ سم، فإن مساحة قاعدتها تساوي ٤٩π سم²، ومنه:
الارتفاع = ٣٩٢π ÷ ٤٩π = ٨ سم.
أخطاء تغيّر الجواب وكيف نصححها
استعمال مساحة القاعدة بدل محيطها
في المساحة الجانبية للموشور نستعمل محيط القاعدة، لأن المستطيلات الجانبية تمتد حول القاعدة. أما في الحجم فنستعمل مساحة القاعدة.
نسيان القاعدة الثانية
المساحة الكلية تشمل السطح الجانبي وقاعدتين، لذلك نضيف ضعف مساحة القاعدة، وليس مساحة قاعدة واحدة.
الخلط بين المساحة والحجم
المساحة تقيس سطح المجسم، ولذلك تكون وحدتها مربعة. أما الحجم فيقيس الحيز الداخلي، ولذلك تكون وحدته مكعبة.
عدم توحيد الوحدات
إذا كان نصف القطر بالسنتيمتر والارتفاع بالمتر، فلا تبدأ الضرب مباشرة. حوّل القياسين إلى الوحدة نفسها أولًا.
تقريب π في بداية الحل
الأفضل إبقاء π في العمليات ما أمكن، أو استعمال القيمة المطلوبة دون تقريب النتائج الوسيطة. يكون التقريب في النهاية حتى لا تتراكم الأخطاء.
اعتبار كل ارتفاع ظاهر هو ارتفاع المجسم
ارتفاع الموشور أو الأسطوانة هو المسافة العمودية بين القاعدتين. أما ارتفاع المضلع الموجود في القاعدة، فيستعمل فقط لحساب مساحة تلك القاعدة.
تمارين محلولة حول الموشور والأسطوانة
التمرين الأول: موشور قاعدته مستطيلة
موشور قائم قاعدته مستطيل طوله ٦ سم وعرضه ٤ سم، وارتفاع الموشور ٩ سم. احسب مساحته الجانبية ومساحته الكلية وحجمه.
التصحيح:
مساحة القاعدة = ٦ × ٤ = ٢٤ سم².
محيط القاعدة = ٢ × مجموع الطول والعرض = ٢ × ١٠ = ٢٠ سم.
المساحة الجانبية = ٢٠ × ٩ = ١٨٠ سم².
المساحة الكلية = ١٨٠ + ٢ × ٢٤ = ٢٢٨ سم².
الحجم = ٢٤ × ٩ = ٢١٦ سم³.
التمرين الثاني: موشور قاعدته مربعة
قاعدة موشور قائم مربع طول ضلعه ٥ سم، وارتفاع الموشور ١٢ سم. احسب مساحته الجانبية ومساحته الكلية وحجمه.
التصحيح:
محيط القاعدة = ٤ × ٥ = ٢٠ سم.
مساحة القاعدة = ٥ × ٥ = ٢٥ سم².
المساحة الجانبية = ٢٠ × ١٢ = ٢٤٠ سم².
المساحة الكلية = ٢٤٠ + ٢ × ٢٥ = ٢٩٠ سم².
الحجم = ٢٥ × ١٢ = ٣٠٠ سم³.
التمرين الثالث: أسطوانة قائمة
أسطوانة نصف قطرها ٤ سم وارتفاعها ١٠ سم. احسب مساحتها الجانبية ومساحتها الكلية وحجمها بدلالة π.
التصحيح:
المساحة الجانبية = ٢ × π × ٤ × ١٠ = ٨٠π سم².
مساحة القاعدتين = ٢ × π × ٤ × ٤ = ٣٢π سم².
المساحة الكلية = ٨٠π + ٣٢π = ١١٢π سم².
الحجم = π × ٤ × ٤ × ١٠ = ١٦٠π سم³.
تحقق من فهمك قبل الانتقال إلى تمرين جديد
حاول الإجابة دون الرجوع إلى القوانين، ثم قارن إجاباتك بالتصحيح.
- موشور قائم محيط قاعدته ١٨ سم وارتفاعه ٧ سم. ما مساحته الجانبية؟
- أسطوانة قطرها ١٢ سم. ما نصف قطرها؟
- هل نضيف مساحة القاعدتين عند حساب المساحة الجانبية؟
- موشور مساحة قاعدته ١٥ سم² وارتفاعه ٨ سم. ما حجمه؟
- ما الوحدة المناسبة لحجم خزان: م² أم م³؟
التصحيح:
- المساحة الجانبية = ١٨ × ٧ = ١٢٦ سم².
- نصف القطر = ١٢ ÷ ٢ = ٦ سم.
- لا؛ نضيف القاعدتين عند حساب المساحة الكلية فقط.
- الحجم = ١٥ × ٨ = ١٢٠ سم³.
- الوحدة المناسبة هي م³ لأن المطلوب حجم.
ما الذي يجب أن يبقى في ذاكرتك؟
- الموشور القائم له قاعدتان مضلعتان متطابقتان، والأسطوانة القائمة لها قاعدتان دائريتان.
- المساحة الجانبية للموشور = محيط القاعدة × الارتفاع.
- المساحة الجانبية للأسطوانة = محيط الدائرة × الارتفاع.
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
- حجم الموشور وحجم الأسطوانة يساويان مساحة القاعدة × الارتفاع.
- إذا أُعطي القطر، نحسب نصف القطر قبل استعمال قوانين الدائرة.
- المساحة بوحدات مربعة، والحجم بوحدات مكعبة.
ولمراجعة مفاهيم القياس والهندسة المناسبة للمراحل الأولى، يمكن الاطلاع على دروس المستوى الابتدائي.
